Les arcs sont des structures parfaitement adaptées à une conception en bois lamellé-collé - un matériau permettant de réaliser des formes courbes et des variations de hauteurs sans surcoût significatif. En règle générale, les arcs consistent en des sections pleines à hauteur constante. Cependant, des sections mixtes en I ou en caisson sont également possibles, particulièrement pour les grandes portées.
Figure 11.1 : Arc pourvu d'un tirant, sur poteaux.
La forme de l'arc devra être choisie de sorte que les moments de flexion soient les plus faibles possible. En d'autres termes, la géométrie de l'arc devra suivre la courbe des pressions de la combinaison de charges principale. Toutefois, l'impact des moments ne peut être totalement exclu, dans la mesure où plusieurs combinaisons de charges doivent être prises en compte, chacune avec sa propre courbe des pressions. À titre de compromis, une forme parabolique (ou circulaire) est généralement choisie, avec un rapport de flèche f/l d'environ 0,14-0,15. Pour des raisons fonctionnelles (par ex. pour accroître la hauteur libre à proximité des appuis), l'adoption d'une forme elliptique ou autre peut être préférable (à noter que dans ce cas, la frontière entre les concepts de portiques et d'arcs est quelque peu floue). Il est possible d'obtenir le même résultat en plaçant l'arc sur des poteaux (cf. Figure 11.1). Les réactions d'appui horizontales induites par l'arc doivent, dans ce cas, être supportées par un tirant situé entre les points d'appui de l'arc.
Lorsque l'arc est en appui directement sur une culée ou une dalle de béton au sol (Figure 11.2 (a)), les forces horizontales peuvent être supportées par les fondations, si les conditions du sol le permettent (cf. Figure 11.2 (b)), ou bien par des tirants placés en dessous ou dans le sol (cf. Figure 11.2 (c)). Afin de limiter l'ampleur des réactions horizontales, la flèche de l'arc devra être supérieure ou égale à 0,14-0,15 fois sa portée. Dans le cas d'une parabole ou d'un cercle, cela correspond à un angle de départ d'environ 30°. Dans la pratique, les arcs sont en principe conçus avec un rapport de flèche 0,14 ≤ f/l ≤ 0,30.
Figure 11.2 : (a) : arc en appui sur des fondations ; (b) poussée horizontale supportée directement par la culée et l'élément de fondation ; (c) force horizontale supportée par un tirant situé dans la dalle.
Le choix d'un arc à deux ou à trois articulations repose sur des considérations similaires à celles évoquées pour les portails (cf. Chapitre 10). Les arcs à trois articulations sont donc recommandés pour des portées allant jusqu'à 60-70 mètres. Dans le cas de portées plus grandes, l'arc doit être fabriqué et transporté en au moins trois parties, lesquelles sont rigidement assemblées sur place. Le choix se porte alors sur un système dont les articulations sont placées uniquement au niveau des culées (arc à deux articulations). Les articulations et les assemblages rigides devront être positionnés comme illustré à la Figure 11.3. L'arc à deux articulations présente l'inconvénient d'être hyperstatique ; il est notamment sensible au tassement des appuis et/ou aux variations d'humidité.
Les arcs sans articulation ne sont en pratique jamais utilisés pour des structures porteuses en bois.
Figure 11.3 : Emplacement adéquat d'assemblages dans des arcs : a) arc à trois articulations ; b) arc à deux articulations.
Il conviendra de noter que l'utilisation d'arcs est déconseillée en présence d'importantes charges concentrées. En effet, l'isolation de ces charges augmentera la distance entre la courbe des pressions et l'axe géométrique de l'arc, d'où un accroissement de l'amplitude des moments de flexion dans la structure. Par conséquent, des charges concentrées importantes réduisent significativement le « comportement d'arc » de la structure. L'impact de ces charges est moins néfaste dans le cas de toitures soumises à de fortes charges permanentes uniformément réparties.
Selon certains codes (par ex. Eurocode 1-3), les charges induites par l'accumulation de neige, réparties de façon triangulaire sur chaque moitié de l'arc, devront être prises en compte dans le calcul (cf. Figure 11.4). Cette condition de charge donne lieu à des moments de flexion relativement importants dans l'arc, particulièrement dans le cas d'une grande portée. Pour réduire l'impact de moments de flexion, une méthode pourrait consister à augmenter le « bras de levier interne » de l'arc, notamment en choisissant une structure en arc dont chaque moitié comporterait une poutre à treillis lenticulaire (cf. Figure 11.4 (b)).
Figure 11.4 : Arcs soumis à une répartition triangulaire de charge : (a) arc courant ; (b) arc consistant en deux poutres à treillis lenticulaires assemblées au faîtage. L'impact de moments de flexion locaux M relativement importants (exemple a) peut être significativement réduit en choisissant une structure avec un bras de levier interne plus grand (exemple b).
L'arc à trois articulations est le type le plus couramment utilisé parmi les arcs lamellés collés. C'est pourquoi les sections suivantes proposeront simplement des informations concernant la conception et le calcul de ces types d'arcs (cf. également Chapitre 9).
11.1. PROPRIETES GEOMETRIQUES UTILES D'ARCS DE FAIBLE HAUTEUR
En ce qui concerne les arcs de forme circulaire présentant un rapport de flèche quelconque et les arcs de forme parabolique présentant un rapport de flèche f/l~ 0,14- 0,15, des propriétés géométriques pertinentes peuvent être déterminées à partir de la Figure 11.5 (à noter qu'une parabole ne possède pas un rayon constant ; cependant, dans le cas de faibles rapports f/l, les arcs paraboliques et circulaires coïncident, d'où la possibilité d'utiliser la formule donnée à la Figure 11.5 en bénéficiant de toute la précision voulue pour les deux types d'arcs).
Figure 11.5 : Propriétés géométriques d'arcs de faible hauteur.
11.2. ETUDE DE CONCEPTION
En règle générale, les aspects architecturaux dictent la forme et, le cas échéant, la flèche de l'arc. Cependant, pour des raisons économiques, et dans un souci de limiter la poussée horizontale, il conviendra de suivre les règles générales concernant les rapports hauteurportée, la portée maximale, etc. La Figure 11.6 propose des indications pour le prédimensionnement de trois profils types d'arcs.
Figure 11.6 : Indications pour le calcul préliminaire de trois différents types d'arcs.
11.3. CONCEPTION ET CALCUL D’ARCS A TROIS ARTICULATIONS
L'arc à trois articulations est stable sous forces horizontales dans son propre plan, et isostatique. En effet, la répartition des moments reste inchangée même si les fondations sont irrégulières ou que des déformations non prévues se produisent dans les assemblages (cf. Chapitre 9). Par ailleurs, les articulations de ce type d'arc se trouvent aux points d'appui, ce qui simplifie la construction des fondations. Si les conditions du sol sont mauvaises, les réactions horizontales au niveau des appuis peuvent être supportées par des éléments tendus situés entre les fondations (dans ou sous la dalle).
Les déformations sont en principe calculées à l'aide de logiciels informatiques par éléments finis.
11.3.1. Forces internes et réactions d’appui
Les efforts normaux et les efforts tranchants en tout point de l'arc dépendent de l'angle 
L'effort normal N, en tout point de l'arc, peut être calculé à l'aide de la formule suivante :
L’effort tranchant V, en tout point de l'arc, peut être calculée à l'aide de la formule suivante :
où Vb désigne l’effort tranchant dans une poutre en appui simple présentant une portée et une charge verticale identiques à celles de l'arc en question, et H désigne la poussée horizontale (cf. Figure 11.7).
Typiquement, la section transversale critique des arcs correspond au ¼ de la portée. En cet endroit, l'angle α peut être déterminé à l'aide des expressions suivantes :
Au ¼ de la portée, l'ordonnée y0 de l'axe central de l'arc peut être calculée à l'aide des expressions suivantes :
Figure 11.7 : Effort interne dans une section transversale quelconque de l'arc.
Les combinaisons de charges déterminantes considérées en principe dans le cadre du calcul d'arcs à trois articulations sont les suivantes :
- Charges permanentes + charge de neige uniformément répartie
- Charges permanentes + charge de neige triangulairement répartie (à différentes amplitudes) sur chaque moitié d'arc.
La suite de cette section propose des indications permettant de déterminer les actions internes (efforts normaux, tranchants et moments de flexion) et les réactions d'appui.
Les considérations suivantes ne s'appliquent qu'aux arcs circulaires avec un rapport de flèche f/l~ 0,14-0,15 et aux arcs paraboliques satisfaisant l'équation ci-dessous :
où x correspond à l'abscisse avec pour origine le pied de l'arc et y correspond à l'ordonnée de l'axe de l'arc.
11.3.1.1. Charges permanentes + charge de neige uniformément répartie
Figure 11.8 : Arc à trois articulations soumis à des charges permanentes et à une charge de neige uniformément répartie.
Dans les conditions de charge illustrées à la Figure 11.8, les forces de réaction et internes agissant dans un arc à trois articulations peuvent être calculées à l’aide des expressions suivantes :
L’effort tranchant au faîtage est nulle.
11.3.1.2. Charges permanentes + charge de neige triangulairement répartie
Figure 11.9 : Arc à trois articulations soumis à des charges permanentes et à une charge de neige triangulairement répartie selon l’EC1.
Dans les conditions de charge illustrées à la Figure 11.9, les forces de réaction et internes agissant dans un arc à trois articulations peuvent être calculées à l’aide des expressions suivantes :
11.4. VERIFICATION DE LA STABILITE
En principe, les arcs consistent en des structures élancées. Par conséquent, leur dimensionnement doit, dans une mesure plus large que pour les portails, être réalisé en tenant compte du risque de flambement aussi bien dans le plan que hors-plan.
11.4.1.1. Comportement latéral et, plus particulièrement, flambement hors-plan (autour du petit axe)
Un arc se situe dans un plan vertical. Il convient d'empêcher tout risque de basculement latéral (cf. Figure 11.10 (a)), particulièrement lors du montage. Pour ce faire, deux méthodes peuvent être envisagées. L'une d'elles consiste en des assemblages fixes à la base, lesquels sont plutôt encombrants et impliquent une fondation massive, notamment dans le cas de grandes structures, afin d'empêcher tout renversement. L'autre méthode plus courante permettant de garantir la stabilité latérale de la structure pendant sa construction consiste à monter simultanément deux arcs adjacents. Dans ce cas, les arcs sont renforcés avec un contreventement temporaire ou permanent, afin d'empêcher la structure de s'effondrer (cf. Figure 11.10 (b)).
Figure 11.10 : Considérations sur le comportement latéral des arcs pendant le montage : (a) basculement latéral potentiel d'un arc (renversement) ; (b) stabilité latérale des arcs assurée au moyen d'un contreventement latéral avec d'autres éléments (pannes de la charpente de comble et contreventement en croix).
Le second problème majeur en termes de comportement latéral des structures et des arcs concerne le déversement (ou flambement hors-plan). Les éléments en bois peuvent être assez élancés, d’où la possibilité d’un phénomène de flambement hors-plan du type illustré à la Figure 11.11.
Figure 11.11 : Flambement latéral d'arcs renforcés ; contreventements selon un écartement a.
Une méthode permettant d'accroître la stabilité en cas de flambement hors-plan consiste à renforcer la rigidité du portique ou de l'arc dans le sens latéral en augmentant la dimension latérale. Une autre méthode consiste à réduire l’entraxe des pannes ou à utiliser une tôle rigide en haut des pannes. Bien évidemment, les pannes doivent être assemblées aux arcs au moyen d'éléments adéquats permettant la transmission des efforts de contreventement. Dans les arcs normaux, le flambement hors-plan est vérifié de la même manière que tout autre poteau-poutre entre des maintiens latéraux. Ces éléments de renfort permettent de déterminer facilement la longueur efficace de chaque élément.
Le critère de dimensionnement est formulé comme suit :
où :
σc,0,d correspond à la contrainte de compression de calcul.
σm,y,d correspond à la contrainte de flexion de calcul selon l’axe y.
fc,d correspond à la résistance de calcul à la compression.
fm,y,d correspond à la résistance de calcul à la flexion selon l’axe y.
kc,z’ désigne le coefficient de réduction associé au flambement hors-plan (c'est-à-dire flambement selon l’axe z ; cf. Figure 11.11).
kcrit désigne le coefficient de réduction associé au déversement (cf. Section 4.1.3).
kr désigne le coefficient de réduction appliqué pour tenir compte de la réduction de résistance due à la flexion des lamelles au cours de la production (cf. Chapitre 7).
Pour plus de détails concernant les symboles utilisés, se référer également au Chapitre 4. À noter que si l'arc est contreventé de façon continue au niveau de sa partie supérieure, le déversement doit être vérifié uniquement aux zones de l'arc présentant un moment de flexion négatif (c'est-à-dire aux zones où l'arc travaille en compression au niveau de sa partie inférieure). Le coefficient kr diminue rarement en dessous d'1,0 dans les configurations géométriques d'arcs courantes.
11.4.2. Flambement dans le plan (autour du grand axe)
Le flambement dans le plan de l'arc est généralement plus compliqué que celui des éléments de poteaux-poutres courants. Les méthodes communes d'analyse des arcs sont les suivantes :
- Analyse de flambement linéaire
- Analyse au second ordre
11.4.2.1. Analyse de flambement linéaire
Dans le cas d'une analyse de flambement linéaire, les arcs peuvent faire l'objet d'une vérification semblable à celle de poteaux-poutres (à savoir éléments soumis simultanément à des forces de flexion et de compression). Les contraintes induites par des charges externes sont calculées selon une théorie élastique linéaire considérant l'équilibre du système statique non déformé. Les contraintes provoquées par des imperfections latérales et dans le plan et les flèches induites sont prises en compte en multipliant les valeurs de résistance en flexion et en compression par les coefficients de réduction pour le flambement kc et kcrit.
Les arcs à deux articulations flambent systématiquement dans des configurations antisymétriques, que la charge soit symétrique ou asymétrique (cf. Figure 11.15 (b)). En d'autres termes, le sommet se déplace horizontalement et devient un point d'inflexion. Dans le cas d'un arc à trois articulations, en revanche, avec un faible rapport de flèche (f/l≤ 0,25-0,3), le flambement est symétrique si la sollicitation est symétrique (cf. Figure 11.12 (a)).
Figure 11.12 : Flambement dans le plan d'arcs à trois articulations.
Pour déterminer la charge de flambement selon l'analyse simplifiée, la longueur de flambement le est nécessaire. Cette longueur peut être obtenue de deux manières : a) numériquement, dans le cadre d'une analyse de flambement linéaire à l'aide d'un programme informatique par éléments finis, ou b) par formules empiriques.
Selon Timoshenko et al. (1963), la valeur critique de l'intensité de la charge pour un arc parabolique à deux ou trois articulations, à section uniforme et soumis à une charge uniformément répartie, peut être formulée au moyen de l'équation suivante :
Le coefficient numérique 
Figure 11.13 : Valeurs
symétriques).
La Figure 11.4 présente un arc circulaire ou parabolique à section constante et soumis à une charge uniformément répartie, avec f/l≈0,14-0,15, une longueur de demi-arc s, l'angle entre l'axe de l'arc et une ligne horizontale en un point situé au quart de la portée θl/4, et la charge de flambement d'Euler Ncr calculée en un point de l'arc situé au quart de la portée (les grandeurs géométriques montrées à la Figure 11.14 sont fondées sur les expressions données à la Figure 11.5).
Figure 11.14 : Forces agissant sur la moitié d'un arc à trois articulations. θl/4 correspond à l'angle entre l'axe de l'arc et une
ligne horizontale en un point situé au quart de la portée. s correspond à la longueur du demi-arc. Ncr correspond à la charge
de flambement d'Euler calculée en un point situé au quart de la portée de l'arc.
Les cas de charges asymétriques, comme illustré à la Figure 11.4, donneront des longueurs de flambement critiques différentes de celles induites dans les cas de charges symétriques. Néanmoins, au cours du prédimensionnement, il est possible d'utiliser une longueur critique le = 1,25·s pour les cas de charges asymétriques, ce qui donnera généralement des résultats modérés.
Le critère de dimensionnement prend en considération l'action simultanée du moment de flexion et de la force axiale ; il est formulé comme suit :
où :
kc,y désigne le coefficient de réduction associé au flambement dans le plan (c'est-àdire flambement selon l’axe y; cf. Figure 11.11) ;
les autres symboles sont définis à l'Éq. 11.18 et au Chapitre 4.
11.4.2.2. Analyse au second ordre
Dans le cas d'une analyse au second ordre, les contraintes sont calculées selon une théorie non linéaire géométrique considérant l'équilibre du système statique déformé.
Dans ce type d'analyse, les charges de calcul sont appliquées graduellement (par incréments). Avant qu'une charge incrémentale ne soit appliquée à la structure, les déplacements induits par les charges préalables sont calculés. Des charges incrémentales sont appliquées en des endroits déterminés après ajout des déplacements induits par les charges préalables. De cette manière, l'impact de l'ensemble des déplacements (y compris le déplacement latéral) induits par des charges préalables sur les forces internes est pris en compte dans le cadre de l'analyse au second ordre. Ce type d'analyse est réalisé à l'aide de logiciels informatiques par éléments finis adéquats.
Si des imperfections géométriques sont également modélisées, les forces internes données par l'analyse au second ordre peuvent être directement utilisées pour dimensionner les éléments, sans réduction de la résistance de calcul liée au flambement (à savoir kc,y=1,0). Selon la Section 5.4.4 de l'EC5, il conviendra de supposer que les déformations initiales sont affines aux formes des déplacements initiaux à la Figure 11.15, (a) et (b). Ces modes de déplacements s’apparentent étroitement aux second et premier modes de flambement élastique d'un arc à deux articulations, respectivement. Les amplitudes des imperfections sont définies comme correspondant aux plus grandes déviations initiales par rapport à la géométrie initiale de l'arc. Le type d'imperfection illustré à la Figure 11.5 (a) devra être utilisé lorsque la charge appliquée sera symétrique. De la même manière, l'imperfection illustrée à la Figure (b) devra être utilisée dans le cas d'une sollicitation asymétrique.
Figure 11.15 : Hypothèses recommandées pour une déviation initiale dans la géométrie d’arcs selon l'EC5 : (a) forme d'imperfection initiale (supposée) symétrique, affine au second mode de flambement d'un arc à deux articulations ; (b) forme d'imperfection (ou mode de déplacement latéral) asymétrique affine au premier mode de flambement.
11.4.2.3. Calcul simplifié au second ordre du moment de flexion et de la flèche
En ce qui concerne les arcs présentant des imperfections initiales de forme affine à l'un des modes de flambement inférieur, la formule approximative simple donnée ci-après permet d'obtenir une estimation correcte du coefficient d’amplification pour l'amplitude des déplacements S0, c'est-à-dire les déplacements amplifiés par les effets du second ordre (cf. Chapitre 4, Éq. 4.19) :
où H est la composante de force déterminante effective de l'arc (par ex. force horizontale) et Hcr est la valeur critique de H pour le mode de flambement associé.
Le moment de flexion M0 fondé sur la théorie linéaire augmente selon le même coefficient d’amplification que celui évoqué ci-dessus, ce qui donne :
où MII correspond au moment de flexion fondé sur la théorie du second ordre. En appliquant l'Éq. 11.26, la meilleure approximation est obtenue lorsque le moment M0 est affinement lié à la courbe des moments au flambement.
11.5. TRACTION PERPENDICULAIRE AU FIL ET CISAILLEMENT
Dans le cas où la traction perpendiculaire au fil est combinée au cisaillement, l'expression suivante doit être satisfaite :
σt,90,d correspond à la contrainte de traction de calcul perpendiculaire au fil.
ft,90,d correspond à la résistance de calcul à la traction perpendiculaire au fil.
fv,d correspond à la résistance de calcul au cisaillement.
kdis, kdis sont expliqués au Chapitre 7.
Pour certaines conditions de charge, un arc sera en grande partie soumis à un moment de flexion positif, ce qui induira une traction perpendiculaire au fil. Cependant, dans de grandes zones de l'arc, ces contraintes seront relativement faibles. C'est pourquoi il est recommandé de prendre uniquement en compte le volume de bois contraint à plus de 80 % de la valeur maximale en traction perpendiculaire au fil pour déterminer kvol.
11.6. DETAILS
11.6.1. Détail du pied articulé des arcs
Les assemblages aux appuis des arcs consistent en des articulations presque sans moment. Selon le type d'assemblage choisi, des moments relativement faibles sont susceptibles d'être transférés. Leur amplitude est cependant limitée à un point tel qu'il est inutile d'en tenir compte lors du dimensionnement de l'arc. En revanche, ces moments revêtiront une certaine importance pour le dimensionnement de l'assemblage et de l'ancrage.
Outre les rotations autour de l'axe fort, l'assemblage doit également pouvoir transférer les forces verticales et horizontales (cf. Figure 11.16).
Figure 11.16 : Détails possibles pour le pied d’arcs : (a) plaque d'extrémité et rotule ; (b) plaque perforée et rotule ; (c) plaque d'extrémité en U, oreille et oreilles latérales.
Il est systématiquement recommandé d'utiliser une barrière anti humidité au niveau de la partie inférieure de l'élément en bois (également pour les classes de service 1 et 2), afin d'éviter tout transfert d'humidité en bois de bout.
11.6.2. Assemblage de faîtage articulé
Les assemblages de faîtage articulés transfèrent des forces horizontales et verticales. Étant donné que les moments ne sont transférés que de manière limitée, ils ne sont pas pris en compte dans le cadre du calcul. L'assemblage devra permettre des variations d'angle des poutres. Si ce mouvement est impossible, d'autres contraintes interviendront, susceptibles de provoquer des dommages non prévus à la structure.
Des alternatives possibles d’assemblages de faîtage articulés sont illustrées à la Figure 11.17.
Figure 11.17 : Assemblage de faîtage articulé : (a) plaque métallique à broches, plaque d'extrémité et rotule ; (b) plaque d'extrémité, rouleaux de contact et oreilles latérales ; (c) plaque d'extrémité à broches, rouleaux de contact et oreilles latérales.
